TOÁN HÌNH HỌC 12- Ôn tập chương III

I. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→(a1;a2;a3) và b→(b1;b2;b3). Ta có:

a→+b→=(a1+b1;a2+b2;a3+b3) a→−b→=(a1−b1;a2−b2;a3−b3) ka→=k(a1;a2;a3) với k là số thực

==> Hệ quả:

a→=b→<=>a1=b1;a2=b2;a3=b3 0→=(0;0;0) a→,b→ cùng phương <=> a1=kb1;a2=kb2;a3=kb3 AB−→−=OB−→−−OA−→−=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)

II. Tích vô hướng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a→(a1;a2;a3) và b→(b1;b2;b3) xác định bởi:

a→.b→=(a1.b1+a2.b2+a3.b3)

Ứng dụng

• Độ dài vectơ:

a→=a21+a22+a23−−−−−−−−−−√

• Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho A(xA,yA,zA)  và B(xB,yB,zB), ta có:

AB=∣∣∣AB−→−∣∣∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

• Góc giữa hai vectơ: Góc giữa a→(a1;a2;a3) và b→(b1;b2;b3) là φ

cosφ=cos(a→,b→)=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23√.b21+b22+b23√

• Đặc biệt: 

a→⊥b→<=>a1b1+a2b2+a3b3=0

III. Phương trình mặt cầu

Định lí

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2

IV. Phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Ax+By+Cz+D=0 với A,B,C≠0.

Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện hai mặt phẳng song song

• (α1)//(α2)<=>{n1−→=kn2−→D1≠kD2<=>{(A1;B1;C1)=k(A2;B2;C2)D1≠kD2
• (α1)≡(α2)<=>{n1−→=kn2−→D1=kD2<=>{(A1;B1;C1)=k(A2;B2;C2)D1=kD2
• (α1) cắt (α2) <=> n1−→≠kn2−→<=>(A1;B1;C1)≠k(A2;B2;C2)

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

• (α1)⊥(α2)<=>n1−→.n2−→=0<=>A1.A2+B1.B2+C1.C2=0

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, cho mp((α) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0;y0;z0). Khoảng cách từ M đến mp((α) xác định bởi công thức: 

d(M0,(α))=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2√

V. Phương trình tham số của đường thẳng

• Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên Δ là có một số thực t sao cho:

⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+ta1y=y0+ta2z=z0+ta3

Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

1. Hai đường thẳng song song

• d // d' <=> d//d′<=>⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a→=ka′→M∈dM∉d′
• d≡d′<=>⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a→=ka′→M∈dM∈d′

2. Hai đường thẳng cắt nhau

Cho d: ⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+ta1y=y0+ta2z=z0+ta3 và d': ⎧⎩⎨⎪⎪x=x′0+t′a′1y=y′0+t′a′2z=z′0+t′a′3

• d và d′ cắt nhau <=> ⎧⎩⎨⎪⎪x0+ta1=x′0+t′a′1y0+ta2=y′0+t′a′2z0+ta3=z′0+t′a′3 có đúng  một nghiệm.

3. Hai đường thẳng chéo nhau

• d và d′ chéo nhau <=> ⎧⎩⎨⎪⎪x0+ta1=x′0+t′a′1y0+ta2=y′0+t′a′2z0+ta3=z′0+t′a′3 vô nghiệm.